|
Funksionet Kuadratike Funksioni kuadratik ka formё
f (x) = ax2 + bx + c
Ku a, b dhe c janё numra realё dhe a nuk ёshtё 0.
Fusha e pёrcaktimit tё kёtij funksion ёshtё bashkёsia e tё gjithё numrave realё.
Pikёprerja e boshtit y me grafikun e f jepet nga f(0) = c. Pikёprerjet e boshtit x gjenden nga zgjidhja e ekuacionit
ax2 + bx + c = 0
Ka disa metoda pёr zgjidhjen e kёtij ekuacioni. Njё nga kёto metoda ёshtё formula kuadratike, ku dy zgjidhjet jepen nga
x1 = ( - b + √D ) / 2a
x2 = ( - b - √D ) / 2a
ku D ёshtё dallori i dhёnё nga
D = b2 - 4ac
Pёr tё gjetur diapazonin ("range") e njё funksioni kuadratik, e rishkruajmё atё nё formёn
f (x) = a(x - h)2 + k
- Duke gjetur katrorin e binomit te f(x) i mёsipёrm, marrim
f (x) = ax2 - 2ahx + ah2 + k
- Duke e krahasuar me formёn e pёrgjithsme tё funksionit, kemi
-2ah = b (1)
dhe
ah2 + k = c (2)
- Zgjidja e ekaucionit (1) pёr h, jep
h = -b / 2a
- Zёvendёsimi i h me -b/2a te ekuacioni (2) dhe zgjidja e tij pёr k, jep
k = c - b2 / 4a
- Kёshtu çdo funksion kuadratik mund tё shkruhet nё formёn f (x) = a(x - h)2 + k,
me h dhe k tё shprehura me anё tё a, b dhe c si mё lart. Kjo formё sjell nё rezultate interesante.
Me ndryshimin e x, termi (x - h)2 ёshtё positiv ose zero. Kёshtu qё
(x - h)2 ≥ 0
- 1 - Nёse a ≥ 0, shumёzojmё tё dy anёt e mosbarazimit tё mёsipёrm me a
a(x - h)2 ≥ 0
- I shtojmё k tё dy anёve tё mosbarazimit
a(x - h)2 + k ≥ k
- Ana e majtё ёshtё formula e funksionit, f (x) = a(x - h)2 + k , kёsht qё
f (x) ≥= k
- Ky rezultat tregon se f (x) ka njё vlerё minimale tё barabartё me k.
Ai na tregon gjithashtu se diapazoni i vlerave ("range") tё f (x) jepet nga
[ k , + infinit)
- 2 - Nёse a < 0, shumёzimi i tё dy anёve tё mosbarazimit (x - h)2 ≥ 0 me a ndryshon kahun
e mosbarazimit:
a(x - h)2 ≤ 0
- Ky rezultat na tregon se f (x) ka njё vlerё maksimum tё barabartё me k.
Ai na tregon gjithashtu se diapazoni i vlerave ("range") tё f (x) jepet nga
(- infinit , k]
Ështё gjithashtu e rёndёsishme tё theksojmё se k = f(h). Grafiku i njё funksioni kuadratik quhet parabolё dhe
pika me koordinata (h , k) quhet kulm i parabolёs e cila mund tё jetё njё maksimum ose njё minimum siç treguam mё lart.
Shembull 1: f ёshtё njё funksion kuadratik i dhёnё nga
f (x) = 2x2 + 2 x - 4
- Gjeni prerjet me boshtet x dhe y tё grafikut tё f.
- Gjeni kulmin e grafikut tё f.
- Gjeni diapazonin e vlerave tё f.
- Skiconi grafikun e f.
Zgjidhja e Shembullit 1
- a - Prerja me boshtin y jepet nga
(0 , f(0)) = (0 , -4)
- Koordinatat x tё pikёprerjeve me boshtin x janё zgjidhjet e
2x2 + 2 x - 4 = 0
- Dallori D i ekuacionit kuadratik tё mёsipёrm jepet nga
D = (2)2 - 4(2)(-4)
= 36
- Zgjidhjet janё
x1 = (-2 + 6) / 4
= 1
x2 = (-2 - 6) / 4
= - 2
- Pikёprerjet me boshtn x janё nё pikat (1 , 0) and (-2 , 0).
- b - Koordinatat h (sipas x) dhe k (sipas y) tё kulmit jepen nga
h = -b / 2a
= -2/4
= -1/2
k = f (h)
= f(-1/2)
= 2(-1/2)2 + 2 (-1/2) - 4
= -9/2
Kulmi ёshtё nё pikёn (-1/2 , -9/2)
- c - Fusha e pёrcaktimit e f (x) ёshtё bashkёsia e tё gjithё numrave realё.
- Meqё koeficienti a ёshtё pozitiv, f ka njё vlerё minimum tё barabartё me k=-9/2.
Diapazoni i vlerave ("range") jepet nga nga bashkёsia e verave realenё intervalin [-9/2 , +infinit).
- d - Gjeni pika tё tjera nёse ёshtё e nevojshme;
psh (2 , f(2)) = (2 , 8) dhe (-3 , f(-3)) = ( -3 , 8 ) .
Vizato kulmin (pikёn mё tё ulёt)
, pikёprerjet me boshtet x dhe y si dhe pikat shtesё siç tregohet mё poshtё.
Qё nga kulmi, qё ёshtё pika minimum, duhen ngritur lart tё dy degёt e grafikut tё f .
Problem i ngjashёm :
f ёshtё njё funksion kuadratik i dhёnё nga
f (x) = x2 - 2 x - 3
- Gjeni pikёprerjet me boshtet x dhe y tё grafikut tё f.
- Gjeni kulmin e grafikut tё f.
- Gjeni fushёn e pёrcaktimit dhe diapazonin e verave tё f.
- Skiconi grafikun e f.
Mё shmё referenca dhe link-e:
|